Question

已知球O的表面上有P、A、B、C四點，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積.

Answer 1

解：如圖，設過P、A、B的平面截球所得的截面圓為⊙O₁，PO₁與球面的另一交點為D.

∵PB⊥PA，

∴AB是⊙O₁的直徑，且AB=a.

∵PC⊥PA，PC⊥PB,

∴PC⊥平面PAB.

    又OO₁⊥平面PAB,

∴OO₁∥PC.

    過OO₁、PC作平面α，平面α與球面的交線為大圓O.則直線DP為平面α和平面PAB的交線，點O₁∈PD，連結CD，在⊙O中，

∵PC⊥PD，∠CPD為直角，∴CD為⊙O的直徑.

    設⊙O的半徑為R，在Rt△CPD中，CD= a.

    即2R=a,

∴R=a.

∴S_球=4πR²=3πa²，V_球=πR³=πa³.