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已知f(x)是定義在R上不恒為0的函數,且對于任意的a,b∈R有f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結論;
(3)若f(2)=2,求使得
f(2-n)
n
>-
1
8
(n∈N*)
成立的最小正整數n的值.
分析:(1)由f(x)是定義在R上不恒為0的函數,且對于任意的a,b∈R有f(ab)=af(b)+bf(a).令a=b=0,能求出f(0);令a=b=1,能求出f(1).
(2)由f(x)的定義域為R,令a=-1,b=x,則f(-x)=-f(x)+xf(-1),再令a=-1,b=-1,得f(-1)=0,由此能得到f(x)是奇函數.
(3)當ab≠0時,
f(ab)
ab
=
f(a)
a
+
f(b)
b
,令g(x)=
f(x)
x
,則g(ab)=g(a)+g(b),由此入手,能夠求出符合題意的最小正整數n的值.
解答:解:(1)令a=b=0,則f(0)=0;令a=b=1,則f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0…(3分)
(2)∵f(x)的定義域為R,令a=-1,b=x,則f(-x)=-f(x)+xf(-1),
再令a=-1,b=-1,則f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0⇒f(-1)=0,
故f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函數   …(7分)
(3)當ab≠0時,
f(ab)
ab
=
f(a)
a
+
f(b)
b

g(x)=
f(x)
x
,即f(x)=xg(x),則g(ab)=g(a)+g(b)⇒g(an)=ng(a)
故f(an)=ang(an)=nang(a)=nan-1•ag(a)=nan-1f(a)
f(an)
n
=an-1f(a)

f(2-n)
n
=(
1
2
)n-1f(
1
2
)
,∵f(1)=f(2×
1
2
)=2f(
1
2
)+
1
2
f(2)=2f(
1
2
)+1=0
,∴f(
1
2
)=-
1
2

f(2-n)
n
>-
1
8
(n∈N*)?
(
1
2
)n-1f(
1
2
)>-
1
8
?
(
1
2
)n
1
8
?
n>3
故符合題意的最小正整數n的值為4.   …(12分)
點評:本題考查函數值的求法,考查函數奇偶性的判斷與證明,考查滿足條件的最小正整數的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數x=1的取值范圍.

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8、已知f(x)是定義在R上的函數,f(1)=1,且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2009)=(  )

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關系
a>b>c
a>b>c

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