Question

已知F₁，F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點△ABF₂是正三角形，那么雙曲線的離心率為（　　）

• A、2
• B、

  2

• C、3
• D、

  3

Answer 1

分析：由△ABF₂是正三角形，可得∠AF₂F₁=30°，從而在Rt△AF₁F₂中，由F₁F₂=2c可求AF₁，AF₂，再根據雙曲線的定義可知AF₂-AF₁=2a可建立a，c之間的關系，根據公式e=

c

a

可求

解答：解：由△ABF₂是正三角形，可得∠AF₂F₁=30°
在Rt△AF₁F₂中，F₁F₂=2c
∴AF1=

2 3

3

c，AF2=

4 3

3

c
根據雙曲線的定義可得，AF2-AF1=2a=

2 3 c

3

∴e=

c

a

=

3

故選D

點評：本題主要考查了雙曲線的定義的應用：AF₂-AF₁=2a，還考查了雙曲線的離心率公式的應用，解題的關鍵是由△ABF₂是正三角形得到∠AF₂F₁=30°．