Question

已知二次函數f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函數在區間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t．

Answer 1

分析：（1）求出二次函數的對稱軸，得到函數f（x）在[-1，1]上為單調函數，要使函數在區間[-1，1]上存在零點，則f（-1）•f（1）≤0，由此可解q的取值范圍；
（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三種情況進行討論，對于每一種情況，由區間長度是12-t求出t的值，驗證范圍后即可得到答案．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=x²-16x+q+3的對稱軸是x=8
∴函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減
∴要使函數f（x）在區間[-1，1]上存在零點，須滿足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+q+3）•（1-16+q+3）≤0
解得-20≤q≤12．
所以使函數f（x）在區間[-1，1]上存在零點的實數q的取值范圍是[-20，12]；
（2）當

t＜8 8-t≥10-8 t≥0

時，即0≤t≤6時，f（x）的值域為：[f（8），f（t）]，
即[q-61，t²-16t+q+3]．
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，∴t=

15± 17

2

．
經檢驗t=

15± 17

2

不合題意，舍去．
當

t＜8 8-t＜10-8 t≥0

時，即6≤t＜8時，f（x）的值域為：[f（8），f（10）]，
即[q-61，q-57]．
∴q-57-（q-61）=4=12-t．
∴t=8
經檢驗t=8不合題意，舍去．
當t≥8時，f（x）的值域為：[f（t），f（10）]，
即[t²-16t+q+3，q-57]
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-t²+16t-60=12-t
∴t²-17t+72=0，∴t=8或t=9．
經檢驗t=8或t=9滿足題意，
所以存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了分類討論的數學思想，訓練了利用函數單調性求函數的最值，正確的分類是解答該題的關鍵，是中檔題．