Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）若a₁=2，試比較a₂與a₃的大小；
（2）若0＜a₁＜1，求證：0＜a_n＜1對任意n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）直接利用函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），可得a₃-a₂＜0，從而可得結(jié)論；
（2）證題的關(guān)鍵是n=k+1時，結(jié)論成立，利用函數(shù)是（0，1）上的單調(diào)遞增函數(shù)即可．

解答：（1）解：a₁=2時，a₂=f（2）=2-sin2∈（0，2），所以sina₂＞0，
所以a₃-a₂=-sina₂＜0，所以a₂＞a₃．（4分）
（2）證明：①n=1時，結(jié)論成立；
②設(shè)n=k時，0＜a_k＜1，則當(dāng)n=k+1時，a_k+1-a_k=-sina_k＜0，即a_k+1＜a_k＜1，（6分）
當(dāng)x∈（0，1）時，f'（x）=1-cosx＞0，
即f（x）是（0，1）上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以a_k+1=f（a_k）＞f（0）=0，即0＜a_k+1＜1
即n=k+1時，結(jié)論成立，
綜上可得，當(dāng)0＜a₁＜1時，0＜a_n＜1對任意n∈N^*恒成立，（10分）

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．