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如圖,曲線C1是以原點O為中心,F1,F2為焦點的橢圓的一部分.曲線C2是以O為頂點,F2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=,|AF2|=
(I)求曲線C1和C2的方程;
(II)設點C是C2上一點,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面積.

【答案】分析:(I)設曲線C1的方程為,則根據|AF1|=,|AF2|=,可得a=3,設A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則(x+c)2+y2=,(x-c)2+y2=,由此可求曲線C1和C2的方程;
(II)過點F1作直線l垂直于x軸,過點C作直線CC1⊥l于點C1,依題意知l為拋物線C2的準線,則|CC1|=|CF2|,在△CF1F2中,設|CF2|=r,則|CF1|=r,|F1F2|=2,由余弦定理可得r=2,再利用三角形的面積公式,即可求得結論.
解答:解:(I)設曲線C1的方程為,則2a=|AF1|+|AF2|=得a=3
設A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則(x+c)2+y2=,(x-c)2+y2=
兩式相減可得:xc=
由拋物線定義可知|AF2|=x+c=
∴c=1,x=或x=1,c=(舍去)
所以曲線C1的方程為,C2的方程為y2=4x(0≤x≤);
(II)過點F1作直線l垂直于x軸,過點C作直線CC1⊥l于點C1,依題意知l為拋物線C2的準線,則|CC1|=|CF2|
在直角△CC1F1中,|CF1|=|CC1|,∠C1CF1=45°
∵∠CF1F2=∠C1CF1=45°
在△CF1F2中,設|CF2|=r,則|CF1|=r,|F1F2|=2
由余弦定理可得22+2r2-2×2×rcos45°=r2
∴r=2
∴S△CF1F2=
點評:本題考查了橢圓,拋物線方程的求法,考查三角形面積的計算,求得方程是關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,曲線C1是以原點O為中心、F1,F2為焦點的橢圓的一部分,曲線C2是以O為頂點、F2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=
7
2
,|AF2|=
5
2

(1)求曲線C1和C2的方程;
(2)過F2作一條與x軸不垂直的直線,分別與曲線C1、C2依次交于B、C、D、E四點,若G為CD中點、H為BE中點,問
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
是否為定值?若是求出定值;若不是說明理由.

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如圖,精英家教網曲線C1是以原點O為中心,F1,F2為焦點的橢圓的一部分,曲線C2是以O為頂點,F2(1,0)為焦點的拋物線的一部分,A(
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2
6
)
是曲線C1和C2的交點.
(I)求曲線C1和C2所在的橢圓和拋物線的方程;
(II)過F2作一條與x軸不垂直的直線,與曲線C2交于C,D兩點,求△CDF1面積的取值范圍.

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精英家教網如圖,曲線C1是以原點O為中心、F1,F2為焦點的橢圓的一部分,曲線C2是以O為頂點、F2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點,曲線C1的離心率為
1
3
,若|AF1|=
7
2
|AF2|=
5
2

(Ⅰ)求曲線C1和C2所在的橢圓和拋物線方程;
(Ⅱ)過F2作一條與x軸不垂直的直線,分別與曲線C1、C2依次交于B、C、D、E四點,若G為CD中點、H為BE中點,問
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.

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(2012•孝感模擬)如圖,曲線C1是以原點O為中心,F1,F2為焦點的橢圓的一部分.曲線C2是以O為頂點,F2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=
7
2
,|AF2|=
5
2

(I)求曲線C1和C2的方程;
(II)設點C是C2上一點,若|CF1|=
2
|CF2|,求△CF1F2的面積.

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如圖,曲線C1是以原點O為中心,F1、F2為焦點的橢圓的一部分,曲線C2是以原點O為頂點,F2為焦點的拋物線的一部分,A(
3
2
6
)
是曲線C1和C2的交點.
(Ⅰ)求曲線C1和C2所在的橢圓和拋物線的方程;
(Ⅱ)過F2作一條與x軸不垂直的直線,分別與曲線C1、C2依次交于B、C、D、E四點,若G為CD中點,H為BE中點,問
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由.

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