Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心、F₁，F₂為焦點的橢圓的一部分，曲線C₂是以O為頂點、F₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，
（1）求曲線C₁和C₂的方程；
（2）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C₁、C₂依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為在橢圓中2a=|AF₁|+|AF₂|=

7

2

+

5

2

=6，所以可求曲線C₁方程．，因為曲線C₂是以O為頂點、F₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點．|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，所以利用拋物線定義，可求，曲線C₂方程．
（2）先設出B、C、D、E四點坐標，過F₂作的與x軸不垂直的直線方程，在分別與橢圓方程，拋物線方程聯立，利用根與系數關系，求

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

的值，看結果是否為定值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

= 1，則2a=|AF₁|+|AF₂|=

7

2

+

5

2

=6，得a=3
設A（x，y），F₁（-c，0），F2（c，0∵|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

則(x+c)2+y2=(

7

2

)2
    (x-c)2+y2=(

5

2

)2，兩式相減得xc=

3

2

，由拋物線定義可知，|AF₂|=x+c=

5

2

則c=1，x=

3

2

或x=1，c=

3

2

（舍去）
所以橢圓方程為 

x2

9

+

y2

8

= 1        拋物線方程為y²=4x
（2）設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
設過F₂作一條與x軸不垂直的直線方程為y=k（x-1），代入

x2

9

+

y2

8

= 1，
得（8+9k²）y²+16ky-64k²=0
∴y₁+y₂=-

16k

8+9k2

，y₁y₂=

64k2

8+9k2

同理，把y=k（x-1）代入y²=4x，得，ky²-4y-4k=0，y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=-4
   所以 

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|

|y3-y4|

•

1 2 |y3+y4|

1 2 |y1+y2|

=

(y1-y2)2(y3+y4)2 (y1+y2 )2 (y3-y4)2

=

[(y1+y2)2-4y1y2](y3+y4)2 (y1+y2 )2[ (y3+y4)2-4y3y4]

=

[ (16k)2 (8+9k2)2 + 4×64k2 8+9k2 ]( 4 k )2 (16k)2 (8+9k2)2 [( 4 k )2+16]

=3

點評：本題考察了橢圓，拋物線與直線的位置關系，掌握設而不求思想的應用．