Question

（文）已知某函數f（x）=dx³+cx²+bx+a，滿足f′（x）=-3x²+3．
（1）求實數d、c、b的值；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）實數a為何值時，函數f（x）與x軸有只有兩個交點．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3dx²+2cx+b=-3x²+3，
∴d=-1，c=0，b=3．
∴f（x）=-x³+3x+a．

（2）f'（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1）．
當x∈（-∞，-1），x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
當x∈（-1，1）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數．
∴f（x）_極小值=f（-1）=a-2；f（x）_極大值=f（1）=a+2．

（3）∵f（x）在x∈（-∞，-1）為減函數，
當x→-∞時，f（x）→+∞；f（x）在x∈（1，∞）為減函數，
當x→+∞時，f（x）→-∞．而a+2＞a-2即f（x）_極大值＞f（x）_極小值．
當f（x）_極大值=0時，有f（x）_極小值＜0，此時f（x）與x軸恰有兩個交點，
∴a+2=0，即a=-2；
當f（x）_極小值=0時，有f（x）_極大值＞0，此時f（x）與x軸也恰有兩個交點．
∴a-2=0，即a=2．
綜上所述a=2或a=-2時，函數f（x）與x軸有只有兩個交點．
分析：（1）求出f′（x），令其等于-3x²+3，即可求出d、c和b的值；
（2）令f′（x）小于0求出x的取值范圍即函數的減區間，令f′（x）大于0求出x的取值范圍即函數的增區間，即可得到函數的極大極小值；
（3）根據函數的單調性得到極大值大于極小值，且當極大值等于0極小值小于0時或極小值等于0極大值大于0，f（x）與x軸恰有兩個交點，即可解出a的值．
點評：本題考查學生掌握函數取極值時滿足的條件，會利用導數研究函數的單調性得到函數的極值，掌握導數在最大值、最小值問題中的應用，是一道綜合題．