Question

已知半圓x²+y²=4(y≥0)，動圓與此半圓相切且與x軸相切，
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡，并畫出其軌跡圖形；
(Ⅱ)是否存在斜率為的直線l，它與(Ⅰ)中所得軌跡的曲線由左到右順次交于A，B，C，D四點，且滿足|AD|=2|BC|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)設動圓圓心為M（x，y），作MN⊥x軸交x軸于N，
若兩圓外切，|MO|=|MN|+2，
所以，，
化簡，得；
若兩圓內切，|MO|=2-|MN|，
所以，；
化簡得x²=-4(y-1)(y＞0)；
綜上，動圓圓心的軌跡方程為x²=4(y+1)(y＞0)及x²=4(y+l) (y＞0)，
其圖象是兩條拋物線位于x軸上方的部分，作簡圖，如下圖所示：
。
(Ⅱ)設直線l存在，其方程可設為，
依題意，它與曲線x²=4(y+1)(y＞0)交于A，D，與曲線x²=-4（y -1）(y＞0)交于 B，C，
由于，得3x²-4x-12b-12=0及3x²+4x+12b-12=0，
 ，
，
∴，
即，
解得：，
把代入方程，得，
因為曲線x²=4(y+l)中橫坐標范圍為(-∞，-2)∪(2，+∞)，所以這樣的直線不存在。