Question

已知函數f（x）=2^x（x∈R），且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數，h（x）為偶函數．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0對任意x∈[1，2]恒成立，則實數a的取值范圍是

a≥-

17

12

．

Answer 1

分析：先根據函數奇偶性定義，解出奇函數f（x）和偶函數g（x）的表達式，將這個表達式不等式af（x）+g（2x）≥0，通過變形可得a≥

22x+2-2x

2(2-x-2x)

=

(2x-2-x)2+2

2(2-x-2x)

=

1

2-x-2x

+2-x-2x）×

1

2

，通過換元，討論出右邊在x∈（0，1]的最大值，可以得出實數a的取值范圍．

解答：解：∵h（x）為定義在R上的偶函數，g（x）為定義在R上的奇函數
∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
又∵由h（x）+g（x）=2^x，
h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2^-x，
∴h（x）=

1

2

(2x+2-x)，g（x）=

1

2

(2x-2-x)
不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化簡為a(2x-2-x)+

1

2

(22x+2-2x)≥0，x∈[1，2]
∵1≤x≤2∴2^x-2^-x＞0
令t=2^-x-2^x，
整理得：a≥

22x+2-2x

2(2-x-2x)

=

(2x-2-x)2+2

2(2-x-2x)

=

1

2-x-2x

+

2-x-2x

2

=

1

2

t+

1

t

=

1

2

（t+

2

t

），則由-

15

4

≤t≤-

3

2

可知y=

1

2

（t+

2

t

）在[-

15

4

，-

3

2

]單調遞增
∴當t=-

3

2

時，ymax=-

17

12

因此，實數a的取值范圍是a≥-

17

12

故答案為a≥-

17

12

點評：本題以指數型函數為載體，考查了函數求表達式以及不等式恒成立等知識點，合理地利用函數的基本性質，再結合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關鍵．