Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，且滿足a₂=5，an+1=an2-2nan+2，(n∈N*)．
（1）推測{a_n}的通項公式；
（2）若bn=2n-1，令c_n=a_n+b_n，求數列c_n的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由遞推式求出前3項，以此作出推測即得通項公式；
（2）由（1）易求c_n，對各項分組后分別利用等差數列、等比數列的求和公式即可求得T_n．

解答：解：（1）由a₂=5，a_n+1=a_n²-2na_n+2，a_n＞0（n∈N*）知：
a₂=a₁²-2a₁+2，故 a₁=3，
a₃=a₂²-4a₂+2=7，
推測a_n=2n+1．（n∈N*）①；
（2）由（1）知，cn=an+bn=(2n+1)+2n-1．
T_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+（a₃+b₃）+…+（a_n+b_n）
=（a₁+a₂+a₃…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=[3+5+7+…+（2n+1）]+（1+2+4+…+2^n-1）
=

n[3+(2n+1)]

2

+

1•(1-2n)

1-2

=（n²+2n）+（2ⁿ-1）=2ⁿ+n²+2n-1．
所以數列{c_n}的前n項和T_n為2ⁿ+n²+2n-1．

點評：本題考查數列遞推公式、歸納推理及數列求和，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據數列{a_n}的前幾項進行合理推測，歸納出其通項．