Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，給出下列命題：
①f（3）=0；
②f（-3）=0；
③直線x=6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
④函數y=f（x）在[-9，-6]上為增函數．
其中所有正確命題的序號為    ．（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】分析：對于條件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，欲求f（3），故令x=-3，即有f（3）=f（-3）+f（3），f（-3）=0，
再依據函數y=f（x）是R上的偶函數，有f（-3）=f（3），得f（3）=0；欲證“直線x=6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸”，即證f（6+x）=f（6-x）；由于f（-3）=f（3）=0，得函數y=f（x）在[-9，-6]上不為增函數．
解答：解：對于①②，由條件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=-3，
即有f（3）=f（-3）+f（3），再依據函數y=f（x）是R上的偶函數，有f（-3）=f（3），得f（3）=0；
故①②對；
對于③，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
又∵f（-x+6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）
∴f（6+x）=f（6-x）；∴直線x=6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，故②對；
對于④，由于f（-3）=f（3）=0，得函數y=f（x）在[-9，-6]上不為增函數；故它是錯．
故填①②③．
點評：抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．