Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于點Q（1，0）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓 的離心率為 ，∴

∴

∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切．

∴b=

∴a2=4，b2=3

∴橢圓的方程為 ；

（2）解：由題意知直線PB的斜率存在，設方程為y=k（x﹣4）代入橢圓方程可得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0

設B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，﹣y1），

∴x1+x2= ，x1x2=

又直線AE的方程為y﹣y2=

令y=0，則x=x2﹣ =x2﹣ = =1

∴直線AE過x軸上一定點Q（1，0）

【解析】（1）根據橢圓 的離心率為 ，可得 ，利用橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切，可得b= ，從而可求橢圓的方程（2）由題意知直線PB的斜率存在，設方程為y=k（x﹣4）代入橢圓方程，利用韋達定理，表示出直線AE的方程，令y=0，化簡即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．