Question

【題目】如圖，在直角梯形中，,點是中點，且,現將三角形沿折起，使點到達點的位置，且與平面所成的角為.

(1)求證:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）.

【解析】

（1）可證平面，從而可證平面平面.

（2）以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，所在的直線軸所在的直線為軸建立空間直角坐標系, 求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.

(1)證明:在平面中，

為沿折起得到，

平面，

又平面平面平面

(2)解:在平面中，

由(1)知平面平面而平面故.

由與平面所成的角為，得，

為等腰直角三角形，,

，又，得,

，故為等邊三角形，

取的中點,連結,

平面，

以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，所在的直線軸所在的直

線為軸建立空間直角坐標系如圖，

則

從而，

設平面的一個法向量為, 平面的一個法向量為,

則由得

，令得，

由得，令得，

所以，

設二面角的大小為，則為鈍角且，

即二面角的余弦值為