Question

（2013•湖州二模）已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點F到準線的距離為

1

2

，過點A（x₀，0）（x₀≥

1

8

）作直線l交拋物線C于點P，Q（點P在第一象限）．
（Ⅰ）若點A與焦點F重合，且弦長|PQ|=2，求直線l的方程；
（Ⅱ）若點Q關于x軸的對稱點為M，直線PM交x軸于點B，且BP⊥BQ，求證：點B的坐標是（-x₀，0），并求點B到直線l的距離d的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定拋物線的方程，設出直線方程與拋物線方程聯立，利用弦長|PQ|=2，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）設出直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合向量知識，證明B（-x₀，0），確定出x₀，或m的范圍，表示出點B到直線l的距離d，即可求得取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：由題意可知，p=

1

2

，故拋物線方程為y²=x，焦點F(

1

4

 ，0)．----（1分）
設直線l的方程為x=ny+

1

4

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y2=x       x=ny+ 1 4

消去x，得y2-ny-

1

4

=0．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．------------------------------------（3分）
因為x1=ny1+

1

4

 ， x2=ny2+

1

4

，點A與焦點F重合，
所以|PQ|=x1+

1

4

 +x2+

1

4

=x1 +x2+

1

2

=n(y1 +y2)+1=2．
所以n²=1，即n=±1．---------------------------------------------（5分）
所以直線l的方程為x-y-

1

4

=0或x+y-

1

4

=0，
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0．-----------------------------------（6分）
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為x=my+x₀（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₂，-y₂）．
由

y2=x         x=my+x0

消去x，得y²-my-x₀=0，
因為x0≥

1

8

，所以△=m²+4x₀＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-x₀．-----------------------（7分）
方法一：
設B（x_B，0），則

BM

=(x2-xB ， -y2) ， 

BP

=(x1-xB ， y1)．
由題意知，

BM

∥ 

BP

，所以x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂，
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=

y

2 1

y2+

y

2 2

y1=(y1+y2)•y1y2．
顯然y₁+y₂=m≠0，所以x_B=y₁y₂=-x₀，即證B（-x₀，0）．--------------------------（9分）
由題意知，△MBQ為等腰直角三角形，所以k_PB=1，即

y1+y2

x1-x2

=1，也即

y1+y2

y 2 1 - y 2 2

=1，
所以y₁-y₂=1，所以(y1+y2)2-4y1y2=1，
即m²+4x₀=1，所以m²=1-4x₀＞0，即x0＜

1

4

又因為x0≥

1

8

，所以

1

8

≤x0＜

1

4

．-----------------------------------------（12分）d=

2x0

m2+1

=

2x0

2-4x0

=

2

( 1 x0 )2-2( 1 x0 )

=

2

( 1 x0 -1)2-1

∈[

6

12

 ， 

1

2

)，
所以d的取值范圍是[

6

12

 ， 

1

2

)．---------------------------------（15分）
方法二：
因為直線l ： y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
所以令y=0，則x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

=x1-

y1( y 2 1 - y 2 2 )

y1+y2

=x1-

y

2 1

+y1y2=-x0，
所以B（-x₀，0）．--------------------------------------------------（9分）
由題意知，△MBQ為等腰直角三角形，所以k_PB=1，即

y1+y2

x1-x2

=1，
所以y₁-y₂=1，所以(y1+y2)2-4y1y2=1，即m²+4x₀=1，所以m²=1-4x₀＞0．
因為x0≥

1

8

，所以0＜m2≤

1

2

．--------------------------------------（12分）

d= 2x0 m2+1 = 1-m2 2 m2+1 = 1 2 (1-m2)2 m2+1 = 1 2 (m2+1-2)2 m2+1    = 1 2 m2+1+ 4 m2+1 -4 ∈[ 6 12  ，  1 2 )

所以d的取值范圍是[

6

12

 ， 

1

2

)．-----------------------------------（15分）

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．