Question

函數(shù)y=cos³x+sin²x-cosx的最大值等于

32

27

．

Answer 1

分析：將函數(shù)y=cos³x+sin²x-cosx轉(zhuǎn)化為y=cos³x-cos²x-cosx+1，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x-cos²x-cosx+1
=cos²x（cosx-1）+（1-cosx）
=（1-cosx）（1-cos²x）
=（1-cosx）（1-cosx）（1+cosx）
=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx），
∵1-cosx≥0，2+2cosx≥0，
∴（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤(

(1-cosx)+(1-cosx)+(2+2cosx)

3

)3=

64

27

，
當(dāng)且僅當(dāng)1-cosx=2+2cosx，即cosx=-

1

3

時取“=”．
∴y=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤

32

27

．
故答案為：

32

27

．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．