Question

42、某公司要將一批海鮮用汽車運往A地，如果能按約定日期送到，則公司可獲得銷售收入30萬元，每提前一天送到，可多獲得1萬元，每遲到一天送到，將少獲得1萬元．為保證海鮮新鮮，汽車只能在約定日期的前兩天出發，且行駛路線只能選擇公路1或公路2中的一條，運費由公司承擔，其他信息如表所示．

（Ⅰ）記汽車走公路1時公司獲得的毛利潤為ξ（萬元），求ξ的分布列和數學期望Eξ；
（Ⅱ）假設你是公司的決策者，你選擇哪條公路運送海鮮有可能獲得的毛利潤更多？
（注：毛利潤=銷售收入-運費）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求走公路1時公司獲得的毛利潤為ξ的分布列和數學期望Eξ．因為在不堵車的時候毛利潤為銷售收入減去運費，堵車的情況會推遲一天到達，故毛利潤為銷售收入減去運費再減去少獲得得1萬元．兩種利潤是由堵車是否決定的，故概率為是否堵車的概率．根據分析即可求得分布列，然后根據期望公式求得即可．
（Ⅱ）求選擇哪條公路運送海鮮有可能獲得的毛利潤更多，可以同（Ⅰ）中的解法一樣先求出走公路2時獲得的毛利潤為η的期望值，然后比較兩個期望值得大小，選擇較大的一個即是可能獲得的利潤最多的情況．

解答：解：（1）汽車走公路1時，不堵車時果園獲得的毛利潤ξ=30-1.6=28.4萬元
堵車時蔬菜基地獲得的毛利潤ξ=30-1.6-1=27.4萬元
∴汽車走公路1是獲得的毛利潤ξ的分布列為

∴Eξ=28.4×+27.4×=28.3萬元．
（2）設汽車走公路2時獲得的毛利潤為η
不堵車時獲得的毛利潤η=30-0.8+1=30.2萬元，
堵車時獲得的毛利潤η=30-0.8-2=27.2萬元，
∴汽車走公路2時獲得的毛利潤ξ的分布列為

∴Eη=20.2×+17.2×=28.7萬元
∵Eξ＜Eη．
故選擇公路2可能獲利更多．

點評：此題主要考查離散型隨機變量的分布和期望在實際中的應用問題．在此類選擇可能獲得利潤最大的問題中，一般都是通過求它們的利潤的期望值做比較即可．對學生實際應用能力要求比較高．