Question

(1)已知函數為有理數且)，求函數的最小值;

(2)①試用(1)的結果證明命題：設為有理數且，若時，則；

②請將命題推廣到一般形式，并證明你的結論；

注：當為正有理數時，有求導公式

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①關鍵是利用函數的最小值為②利用數學歸納法可證。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）令

得

當時，，故在上遞減．

當，故在上遞增．

所以，當時，的最小值為 

（Ⅱ）（ⅰ），令，由（Ⅰ）知

，，即 

（ⅱ）命題推廣到一般形式為：設為有理數且，

若時，則.

下面用數學歸納法證明如下：①當時，由（Ⅱ）（ⅰ）知，不等式成立；

②假設時，不等式成立，即，

那么時，要證，

即證，

設函數，

則，

令，得，

當時，，

故在上遞減；

當，類似可證，故在上遞增．

當時，的最小值為

，

由歸納假設知，所以，

，

時不等式成立.

綜上，原命題得證 

考點：數學歸納法

點評：本題用到的數學歸納法，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。若要證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值時命題成立。對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；

（2）假設當n=k（k≥，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

綜合（1）（2），對一切自然數n（≥），命題P(n）都成立。