Question

從{1，2，3，…，n}中隨機地抽出一個數x，按右邊程序框圖所給算法輸出y．
（1）設n=10，求y＜0的概率；
（2）若P（y＞0）=

1

6

，記輸出的y值為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由程序框圖所給的算法可知y是關于變量x的分段函數，通過解不等式求出y＜0包含的基本事件的個數為5，利用古典概型的概率公式求出n=10時，y＜0的概率．
（2）求出y＞0時，x可取的值，通過對n的討論求出P（y＞0）的范圍，根據已知條件P（y＞0）=

1

6

，求出n的值，求出
ξ的所有取值，并求出取各值的概率值，列出分布列，求出期望．

解答：解：（1）由程序框圖所給的算法可知y是關于隨機變量x的函數．
當x＜5時，由不等式2^x-8＜0可得x＜3，故x可取1，2；
當5≤x≤10時，由不等式x²-14x+45＜0可得5＜x＜9，故x可取6，7，8；
，從{1，2，3，…，10}中隨機地抽出一個數x，基本事件的總數為10，
事件y＜0包含的基本事件的個數為5，
由古典概型的概率公式得n=10時，y＜0的概率為

5

10

=

1

2

；
（2）當x＜5時，由不等式2^x-8＞0可得x＞3，故x可取4；
當x≥5時，由不等式x²-14x+45＞0可得x＞9；
所以當n＜4時，p（y＞0）=0；
當4≤n＜10時，p（y＞0）=

1

n

，

1

9

≤p(y＞0)≤

1

4

；
當n≥10時，p（y＞0）=

1+n-9

n

=1-

8

n

，

1

5

＜p(y＞0)＜1．
由P（y＞0）=

1

6

知4≤n＜10，由

1

n

=

1

6

得n=6．
當x分別取1，2，3，4，5，6時，輸出的y值依次為-6，-4，0，8，0，-3，
故ξ的分布列為

Eξ=-6×

1

6

-4×

1

6

-3×

1

6

+0×

1

6

+8×

1

6

=-

5

6

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查分類討論的數學思想方法，是一個綜合題，是近幾年高考題目中經常出現的一個問題．