Question

在三棱錐中，,.

求三棱錐的體積；

證明:;

求異面直線SB和AC所成角的余弦值。

Answer 1

（1）

（2）見解析

(3)

解析:

∵

∴且,

∴平面------------ ----------------2分

在中， ,

中，

∵,

∴.--------------4分

(2)證法1：由（1）知SA=2, 在中，---6分

∵,∴-------------------8分

證法2：由（1）知平面，∵面，

∴,∵,,∴面

又∵面，∴

(3) 解法1：分別取AB、SA、 BC的中點D、E、F，

連結ED、DF、EF、AF，則,

∴（或其鄰補角）就是異面直線SB和AC所成的角----------10分

∵

在中，

∴,

在中，

在△DEF中，由余弦定理得

∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為-------------------------14分

解法2：以點A為坐標原點，AC所在的直線為y軸建立空間直角坐標系如圖

則可得點A(0,0,0),C(0,1,0),B

∴

設異面直線SB和AC所成的角為

則

∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為。