Question

如圖，在三棱錐中， 

（1）求證：平面⊥平面

（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

 （3）若動點M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值為，求BM的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析    （2）  直線PA與平面PBC所成角的正弦值為。   （3）。 

【解析】本試題主要是考查了面面垂直的證明，以及線面角的求解，以及二面角的大小的求解的綜合運用。考查了同學們的空間想象能力和邏輯推理能力和計算能力的綜合運用。

（1）利用線面垂直的判定定理，求證面面垂直的證明。

（2）建立空間直角坐標系，求解平面的法向量和直線的方向向量，利用數量積的性質得到線面角的求解。

（3）借助于上一問中的向量坐標，平面的法向量的法向量的夾角與二面角的平面角的大小相等或者互補

解：（1）取AC中點O,因為AP=BP，所以OP⊥OC  由已知易得三角形ABC為直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分

（2）  以O為坐標原點,OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),            5分

∴    設平面PBC的法向量，

由得方程組

，取                           6分

∴  ∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為。      8分

（2）由題意平面PAC的法向量，

設平面PAM的法向量為 

∵又因為

∴  取

∴         ∴             11分

∴B點到AM的最小值為垂直距離。