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設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),當|x|≤1時,總有|f(x)|≤1,求證:|f(2)|≤8.

思路分析:本題可巧妙運用絕對值定理,對函數值進行放縮,注意到f(2)=4a+2b+c,故先求|a|,|b|,|c|的范圍,從而求出|f(2)|≤8.

證明:由題設,知|f(0)|≤1,∴|c|≤1.①

又∵2b=f(1)-f(-1),

∴|2b|=|f(1)-f(-1)|≤|f(1)|+|f(-1)|≤2.

∴|b|≤1.②

∵2a=f(1)+f(-1)-2c,

∴|2a|=|f(1)+f(-1)-2c|≤|f(1)|+|f(-1)|+2|c|≤4,

∴|a|≤2.③

由①②③,得|f(2)|=|4a+2b+c|=|f(1)+3a+b|

≤|f(1)|+3|a|+|b|≤1+6+1=8.得證.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

f(x)=
ax2+bx

(1)當a=-1,b=4時,求函數f(ex)(e是自然對數的底數.)的定義域和值域;
(2)求滿足下列條件的實數a的值:至少有一個正實數b,使函數f(x)的定義域和值域相同.

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f(x)=
ax2+bx
,求滿足下列條件的實數a的值:至少有一個正實數b,使函數f(x)的定義域和值域相同.

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設f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.

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