Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，1)．
（1）當

a

∥

b

時，求2cos2x-sin2x的值；
（2）求f(x)=

a

•

b

的最小正周期和單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的條件，可得tanx=1，再將2cos²x-sin2x為關于tanx的函數，即可求得結論；
（2）利用向量的數量積運算，并化簡函數f(x)=

a

•

b

，即可求得函數的最小正周期與單調遞增區間．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，1)．
∴sinx-cosx=0即tanx=1
∴2cos²x-sin2x=

2cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

tan2x+1

=0
（2）f(x)=

a

•

b

=sinxcosx+1=

1

2

sin2x+1
∴f(x)=

a

•

b

的最小正周期為T=

2π

2

=π，
-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ
解得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z
∴單調遞增區間[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，k∈Z

點評：本題主要考查了向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．