Question

給出下列圖象其中可能為函數f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的圖象的是

①③

．

Answer 1

分析：確定函數的圖象，可由函數單調性的可能情況確定函數圖象的形狀，故可求出函數的導數，通過函數的導數研究函數的單調性，從而推測出函數圖象的大致形狀得出可能的圖象是那幾個，從而得到答案

解答：解：∵f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）
∴f'（x）=4x³+3ax²+2bx+c
此函數相應方程的根可能有三個或兩個或一個，
若方程可能的根有一個，如a，b，c都為0時，f'（x）=0的根只有一個，故函數值先負后正，故函數的圖象是先減后增，符合條件的只有①
若方程可能的根有兩個，函數有兩個極值點，函數圖象必是先減后增再減型，與題意不符，
若方程的根有三個，則函數有三個極值點，函數的單調性是先減后增再減再增型，考察②③④得③符合條件
綜上討論知，①③中的圖象可能是函數的圖象，
故答案為①③

點評：本題考查函數的圖象，解題的關鍵是推測出函數圖象的性質，由這些性質得出函數的圖象的特征從而選出可能的圖象的序號，本題借助導數研究函數的單調性與極值，比較抽象，有一定的難度