Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如右圖，該棱錐中，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在棱BC上移動．
（I）畫出該棱錐的直觀圖并證明：無論點E在棱BC的何處，總有PE⊥AF；
（II）連接DE，設G為DE上一動點，當三棱錐P-AGE的體積為

3

12

時，試確定G在DE上的位置．

Answer 1

分析：（I）根據四棱錐P-ABCD的三視圖，及PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°我們易畫出該棱錐的直觀圖，結合F是PB的中點，點E在棱BC上移動，我們易根據三角形的性質，分別證明出AF⊥BP，AF⊥BC，進而得到AF與平面PBC垂直，然后根據線面垂直的定義得到結論．
（II）由G為DE上一動點，三棱錐P-AGE的體積為

3

12

，我們根據棱錐的體積計算公式，我們易計算出底面AGE的面積，進而判斷出G在DE上的位置．

解答：解：（I）直觀圖如下圖所示：
在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，
∴∠PDA是PD與底面ABCD所成的角，
∴∠PDA=30°，
又∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AF
又∵PA=AB=1，F是PB的中點，
∴AF⊥PB，又由BP∩BC=B，
∴AF⊥面PBC
又由PE?面PBC
∴AF⊥PE
（II）VP-AGE=

1

3

S△AGE•PA
又∵PA=AB=1，在RT△PAD中，易得AD=

3

設A到DE的距離為h，則S_△AGE=

1

2

EG•h
∴VP-AGE=

1

3

S△AGE•PA=

1

6

•EG•h=

3

12

∴EG•h=

3

2

又∵S_△AED=

1

2

AD•AB=

1

2

ED•h
∴

3

=ED•h
∴EG•

3

ED

=

3

2

∴2EG=ED
即G是ED的中點．

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積公式，簡單空間圖形的三視圖及空間幾何體的直觀圖，其中根據已知的三視圖，畫出直觀圖，用圖形更加直觀的表示出空間的線、面關系是解答本題的關鍵．