Question

(本題滿分13分)

工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人。現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率。若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？

（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數學期望）；

（Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數學期望）達到最小，并證明之。

Answer 1

【解析】：（Ⅰ）無論怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是，所以任務能被完成的概率為=

（Ⅱ）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為時，所需派出人員數目的分布列為

	1	2	3
P

所需派出人員數目的均值（數字期望）是

（Ⅲ）（方法一）由（2）的結論知，當一甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，=，

依據常理，優先派出完成任務概率最大的人，可減少派出人員數目的均值.

下面證明：對與，，的任意排列，，，都有≥.

事實上，

=

=

=

≥≥0，

即≥成立.

（方法二）：①可將（Ⅱ）中所求的改寫為，若交換前兩人的派出順序，則變為，可見，當時，交換前兩人的派出順序可減少均值;

②也可將（Ⅱ）中所求的改寫為，交換后兩人的派出順序，則變為，由此可見，若保持派出的人選不變，當時，交換后兩人的派出順序也可減少均值.

綜合①②可知，當（，，）=（，，）時，達到最小，

即完成任務概率最大的人優先派出，可減少所需派出人員數目的均值，這一結論是合乎常理的.