Question

（在下列兩題中任選一題，若兩題都做，按第①題給分）
①在直角坐標系中圓C的參數方程為（α為參數），若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極坐標方程為    ．
②已知關于x的不等式|x+a|+|x-1|+a＜2011（a是常數）的解是非空集合，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：①圓C的普通方程為x²+y²=4y，由x²+y²=ρ²，4y=4ρsinθ，能求出圓C的極坐標方程為 ρ=4sinθ．
②當x≥-a時，原式=x+2a+|x-1|＜2011，當x＞1時，2x+2a-1＜2011，2x+2a＜2012，a＜1006-x＜1005．當x=1時，1+2a＜2011，a＜1005．當x＜1時，2a+1＜2011，a＜1005．當x＜-a時，原式=|x-1|-x＜2011，不等式恒成立．由此能求出a的取值范圍．
解答：解：①∵圓C的參數方程為（α為參數），
∴圓C的普通方程為x²+（y-2）²=4，
即x²+y²=4y，
∵x²+y²=ρ²，4y=4ρsinθ，
∴圓C的極坐標方程為 ρ=4sinθ．
故答案為：ρ=4sinθ．
②當x≥-a時，原式=x+2a+|x-1|＜2011，
當x＞1時，2x+2a-1＜2011，
2x+2a＜2012，
a＜1006-x＜1005．
當x=1時，1+2a＜2011，
a＜1005．
當x＜1時，2a+1＜2011，
a＜1005．
當x＜-a時，原式=|x-1|-x＜2011，
不等式恒成立．
綜上所述，a＜1005．
故答案為：（-∞，1005）．
點評：第①考查圓的參數方程、普通方程和極坐標方程的相互轉化，是基礎題．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．
第②考查含參數的絕對值不等式的解法，是基礎題．解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．