Question

已知橢圓C₁：＝1，拋物線C₂：(y－m)²＝2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點．

(1)當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

(2)若p＝且拋物線C₂的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱． 　　所以m＝0，直線AB的方程為x＝1，從而點A的坐標為(1，)或(1，－)． 　　因為點A在拋物線上，所以＝2p，即p＝． 　　此時C2的焦點坐標為(，0)，該焦點不在直線AB上． 　　(2)當C2的焦點在AB上時，由(1)知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝k(x－1)． 　　由，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0　　① 　　設A、B的坐標分別為(x1，y1)(x2，y2)， 　　則x1、x2是方程①的兩根，x1＋x2＝． 　　因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是過C2的焦點的弦， 　　所以|AB|＝(2－x1)＋(2－x2)＝4－(x1＋x2)， 　　且|AB|＝(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋． 　　從而x1＋x2＋＝4－(x1＋x2)． 　　所以x1＋x2＝，即． 　　解得k2＝6，即k＝±． 　　因為C2的焦點F′(，m)在直線y＝k(x－1)上，所以m＝k，即m＝或m＝－． 　　當m＝時，直線AB的方程為y＝－(x－1)； 　　當m＝－時，直線AB的方程為y＝(x－1)．