Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=1，Sn+1﹣2Sn=1（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足bn=n+ ，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1=1，Sn+1﹣2Sn=1，

即為Sn+1+1=2（Sn+1），

即有數列{Sn+1}是以S1+1=2，2為公比的等比數列，

則Sn+1=22n﹣1=2n，

即Sn=2n﹣1，n∈N*，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，

上式對n=1也成立，

則數列{an}的通項公式為an=2n﹣1，n∈N*

（2）解：bn=n+ =n+n（ ）n﹣1，

前n項和Tn=（1+2+3+…+n）+[11+2（ ）+3（ ）2+…+n（ ）n﹣1]，

設Mn=11+2（ ）+3（ ）2+…+n（ ）n﹣1，

Mn=1 +2（ ）2+3（ ）3+…+n（ ）n，

相減可得， Mn=1+ +（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1﹣n（ ）n

= ﹣n（ ）n，

化簡可得Mn=4﹣（n+2）（ ）n﹣1，

則Tn= n（n+1）+4﹣（n+2）（ ）n﹣1

【解析】（1）由題意可得Sn+1+1=2（Sn+1），即有數列{Sn+1}是以S1+1=2，2為公比的等比數列，運用等比數列的通項公式和數列的遞推式，可得所求通項公式；（2）求出bn=n+ =n+n（ ）n﹣1 ， 運用數列的求和方法：分組求和和錯位相減法，結合等差數列和等比數列的求和公式，化簡計算即可得到所求和．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．