Question

某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的產值函數R (x)=3700x + 45x² – 10x³(單位：萬元), 成本函數為C (x) = 460x + 5000 (單位：萬元). 又在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf (x)定義為: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利潤 = 產值 – 成本）

(1) 利潤函數P(x) 及邊際利潤函數MP(x);

    (2) 年造船量安排多少艘時, 可使公司造船的年利潤最大?

    (3) 邊際利潤函數MP(x)的單調遞減區間, 并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？

Answer 1

(1) P(x) =  – 10x³ + 45x² + 3240x – 5000  (x??N且x??[1, 20]);  

  MP (x) = – 30x² + 60x +3275   (x??N且x??[1, 20]). 

 (2)年建造12艘船時, 公司造船的年利潤最大.                      

 (3)當1< x ?? 20時，MP (x)單調遞減.                              

 MP (x)是減函數說明: 隨著產量的增加，每艘利潤與前一臺比較，利潤在減少.1

解析:

(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x³ + 45x² + 3240x – 5000  (x??N且x??[1, 20]);   2分

  MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x² + 60x +3275   (x??N且x??[1, 20]). 

 (2) P`(x) = – 30x² + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12)  (x??N且x??[1, 20])

       當1< x < 12時, P`(x) > 0, P(x)單調遞增,

       當 12 <x < 20時, P`(x) < 0 , P ( x ) 單調遞減.

    ∴ x = 12 時, P(x)取最大值,                                       

即, 年建造12艘船時, 公司造船的年利潤最大.                      

 (3) 由MP(x ) =  – 30( x – 1) ² + 3305   (x??N且x??[1, 20]).

    ∴當1< x ?? 20時，MP (x)單調遞減.                                 12分

 MP (x)是減函數說明: 隨著產量的增加，每艘利潤與前一臺比較，利潤在減少.1