Question

用反證法證明：函數(shù)f（x）=x³-2x²-5x+6在區(qū)間（3，+∞）上不存在極值點．

Answer 1

分析：假設函數(shù)f（x）=x³-2x²-5x+6在區(qū)間（3，+∞）上存在極值點，令f'（x）=0可得導函數(shù)的零點，下面證明這兩個零點都不在區(qū)間（3，+∞）上即可，最后得到與假設矛盾，故假設不成立，從而得到證明．

解答：22．證明：假設函數(shù)f（x）=x³-2x²-5x+6在區(qū)間（3，+∞）上存在極值點．        …1分
則存在x₀＞3，使得f'（x₀）=0．                                   …2分
因為f'（x）=3x²-4x-5，令f'（x）=0，則x=

2± 19

3

．            …3分
容易看出

2- 19

3

＜3，下面證明

2+ 19

3

＜3．                      …4分
要證明：

2+ 19

3

＜3成立，
只需證：2+

19

＜9成立，
只需證：

19

＜7成立，
只需證：19＜49成立，
上式顯然成立，故有

2+ 19

3

＜3成立．
綜上，x=

2± 19

3

＜3，與存在x₀＞3，使得f'（x₀）=0矛盾．       …7分
因此假設不成立，所以函數(shù)f（x）=x³-2x²-5x+6在區(qū)間（3，+∞）上不存在極值點．…8分．

點評：本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點，屬于中檔題．