Question

在△ABC中，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

且最長邊為

5

．
（Ⅰ）求∠C的值；
（Ⅱ）求△ABC最短邊的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導公式得到tanC=tan（A+B），再利用兩角和與差的正切函數公式化簡，將tanA與tanB的值代入計算求出tanC的值，利用特殊角的三角函數值即可求出∠C的值；
（Ⅱ）根據題意得到最短邊為AC，根據tanB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，根據sinC，sinB，以及AB的值，利用正弦定理即可求出AC的長．

解答：解：（Ⅰ）∵tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∴tanC=-tan（A+B）=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（Ⅱ）易知最短邊為AC，∵tanB=

1

3

，∠B為三角形內角，
∴cosB=

1 tan2B+1

=

3 10

10

，sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
由正弦定理

AC

sinB

=

AB

sinC

，即

AC

10 10

=

5

2 2

，
∴AC=1．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正切函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．