Question

如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，
（1）證明：C₁C⊥BD；
（2）當

CD

CC1

的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁、AC和BD交于O，連接C₁O．證明BD垂直平面平面AC₁內的兩條相交直線AC，C₁O，即可證明C₁C⊥BD；
（2）當

CD

CC1

=1時，能使A₁C⊥平面C₁BD，A₁C與C₁O相交于G，說明點G是正三角形C₁BD的中心，證明CG⊥平面C₁BD，即可證明A₁C⊥平面C₁BD．

解答：（1）證明：如圖，連接A₁C₁、AC和BD交于O，連接C₁O．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD．
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，
∴△C₁BC≌△C₁DC，
∴C₁B=C₁D，
∵DO=OB
∴C₁O⊥BD，（3分）
但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，
∴BD⊥平面AC₁，
又C₁C?平面AC₁，
∴C₁C⊥BD．（6分）
（2）當

CD

CC1

=1時，能使A₁C⊥平面C₁BD．
∵

CD

CC1

=1，
∴BC=CD=C₁C，
又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，
由此可推得BD=C₁B=C₁D．
∴三棱錐C-C₁BD是正三棱錐．（9分）
設A₁C與C₁O相交于G．
∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，
∴C₁G：GO=2：1．
又C₁O是正三角形C₁BD的BD邊上的高和中線，
∴點G是正三角形C₁BD的中心，
∴CG⊥平面C₁BD，
即A₁C⊥平面C₁BD．（12分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關系，邏輯推理能力，考查空間想象能力，是中檔題．