Question

已知點P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O為坐標原點．當α∈（0，π）時，
（Ⅰ）若存在點P，使得PO⊥PQ，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 如果a=-1，設向量

PO

與

PQ

的夾角為θ，求證：cosθ≥

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先寫出向量的坐標

PO

，

PQ

，由題意可得

PO

⊥

PQ

，利用向量垂直的條件得到cosα=

2

a

．利用-1≤cosα≤1即可求出實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 如果a=-1，

PQ

=（-1-2cosα，-2sinα），利用向計算公式得夾角余弦值cosθ=

PO  • PQ

| PO | •  | PQ |

=

cosα+2

5+4cosα

，設

5+4cosα

=t，利用換元法即可求得其范圍，從而得出cosθ≥

3

2

．

解答：解：（Ⅰ）

PO

=（-2cosα，-2sinα），

PQ

=（a-2cosα，-2sinα），
由題意可得

PO

⊥

PQ

，
∴（-2cosα，-2sinα）•（a-2cosα，-2sinα）=（-2cosα）•（a-2cosα）+4sin²α=0，
∴cosα=

2

a

．    
當α∈（0，π）時，-1≤cosα≤1，∴-1≤

2

a

≤1，
∴a≤-2，或 a≥2，故實數a的取值范圍為 （-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅱ） 如果a=-1，

PQ

=（-1-2cosα，-2sinα），
cosθ=

PO  • PQ

| PO | •  | PQ |

=

(-2cosα，-2sinα)•(-1-2cosα，-2sinα)

|(-2cosα，-2sinα)|•|(-1-2cosα，-2sinα)|

=

2cosα+4

2 5+4cosα

 
=

cosα+2

5+4cosα

設

5+4cosα

=t，則cosα=

t 2-5

4

，
∴

cosα+2

5+4cosα

=

t 2-5 4 +2

t

=

t 2+3

4t

≥

3

2

，
∴cosθ≥

3

2

．

點評：本小題主要考查數量積判斷兩個平面向量的垂直關系、數量積表示兩個向量的夾角、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于中檔題．