Question

已知點(diǎn)P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)α∈（0，π）時(shí)．
（Ⅰ）若存在點(diǎn)P，使得OP⊥PQ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 如果a=-1，求向量

PO

與

PQ

的夾角θ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

OP

，

PQ

的坐標(biāo)代入x₁x₂+y₁y₂=0即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）把a(bǔ)=-1代入

OP

，

PQ

的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出兩個(gè)向量的模及他們的數(shù)量積，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解．

解答：解：（Ⅰ）

OP

=（2cosα，2sinα）

PQ

=（a-2cosα，-2sinα），
由OP⊥PQ，得

OP

• 

QP

=4cos2α-2acosα+4sin2α=4-2acosα=0，
由α∈（0，π），得cosα=

2

a

∈(-1，1)，
∴a＜-2或a＞2．（7分）
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，

PO

=(-2cosα，-2sinα)，

PQ

=(-1-2cosα，-2sinα)，

cosθ= PO • PQ | PO || PQ | = 2cosα(1+2cosα)+(2sinα)2 2 (2cosα+1)2+(2sinα)2 = cosα+2 4cosα+5 = (cosα+ 5 4 )+ 3 4 2 cosα+ 5 4 ≥ 3 2

當(dāng)cosα+

5

4

=

3

4

，即cosα=-

1

2

，α=

2

3

π∈(0，π)時(shí)，取等號(hào)．
又∵cosθ在θ∈（0，π）上是減函數(shù)，
∴θmax=

π

6

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：如果已知向量的坐標(biāo)，求向量的夾角，我們可以分別求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出兩個(gè)向量的模及他們的數(shù)量積，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解