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如,四邊形ABCD是邊長為a的正方形,PD⊥平面ABCD,MA∥PD,E,F,G分別為MB,PC,PB的中點,且AD=PD=2MA.
(1)求證:平面EFG⊥平面PDC;
(2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.
分析:(1)要證平面EFG⊥平面PDC,只需在平面EFG內找一直線與平面PDC垂直,而根據線面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC,GF∈平面EFG,滿足定理條件,即可得證;(2)設MA=1,求出PD=AD,得到Vp-ABCD=
1
3
S正方形ABCD•PD,求出PD,根據DA⊥面MAB,可得DA即為點P到平面MAB的距離,根據三棱錐的體積公式求出體積得到V P-MAB:V P-ABCD的比值.
解答:(1)證明:由已知PD⊥平面ABCD,
因為BC∈平面ABCD,所以PD⊥BC,
因為四邊形ABCD為正方形,所以BC⊥CD,
又PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC,
在△PBC中,因為G、F分別是PB、PC中點,
所以GF∥BC,故GF⊥平面PDC,又GF∈平面EFG,
所以平面EFG⊥平面PDC;
(2)因為PD⊥平面ABCD,
四邊形ABCD為正方形,不妨設MA=1,
則PD=AD=2,所以Vp-ABCD=
1
3
S正方形ABCD•PD=
8
3

由于DA⊥面MAB,所以DA即為點P到平面MAB的距離,
所以三棱錐Vp-MAB=
1
3
×
1
2
×1×2×2=
2
3

所以V P-MAB:V P-ABCD=1:4.
點評:本題考查空間中的線面關系,考查線面垂直、面面垂直的判定及幾何體體積的計算,考查試圖能力和邏輯思維能力.
練習冊系列答案
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