Question

（本題滿分16分）已知數列中,, 為實常數）,前項和恒為正值，且當時,.

⑴ 求證:數列是等比數列；

⑵ 設與的等差中項為,比較與的大��；

⑶ 設是給定的正整數，.現按如下方法構造項數為有窮數列：

當時，；

當時，.

求數列的前項和.

 

Answer 1

【答案】

（本題滿分16分）

解:⑴當時, ,

化簡得,                         .………………………2分

又由,得, 解得,

∴，也滿足,         .………………………4分

而恒為正值,  ∴數列是等比數列.                .………………………5分

⑵的首項為1，公比為，.當時,,

∴.

當時,,

此時                                         . .……………………7分                

當時,

.

∵恒為正值 ∴ 且,

若,則,    若,則.    .……………………10分

綜上可得,當時, ；

當時，若，則，   若,則 .……………………11分

⑶∵  ∴ ,當時, .

若,則由題設得

 ..……………………13分若,則

.

綜上得.           .………………………16分

【解析】略