Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，點P為α內一動點，且∠APB=∠DPC，則P點的軌跡為（　　）

A、直線

B、圓

C、橢圓

D、雙曲線

Answer 1

分析：由題意，可通過題設條件研究PB與PC兩個線段的數量關系，先由題設條件證得△APB∽△DPC，得出PB：PC=2，再根據在一個平面中到兩個定點距離的比是常數（此常數不為1，為1時軌跡是線段的垂直平分線）的點的軌跡是圓得到點的軌跡的性質是圓，即可選出正確選項

解答：解：∵AB‖CD，且AB⊥平面α
∴CD⊥平面α
且AB⊥BP  CD⊥CP
∵∠APB=∠DPC
∴△APB∽△DPC
∴PB：PC=AB：CD
∵AB=2CD
∴PB：PC=2
∵2BC=4
∴BC=2
∴B、C是定點
∴P點的軌跡是圓

點評：本題考察軌跡方程的問題，作為一個選擇題，本題只要求確定軌跡的性質，解答本題關鍵是能由題設條件得出動點到兩定點的距離之比是一個常數，再由圓中的一個結論“一個平面中到兩個定點距離的比是常數（此常數不為1，為1時軌跡是線段的垂直平分線）的點的軌跡是圓得到點的軌跡的性質是圓”判斷出點的軌跡的性質，本題較抽象，尤其是最后判斷點的軌跡的性質的這個結論用得比較少，不易想起，此性質可以建立坐標系，用解析法求出其軌跡方程驗證