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已知橢圓的離心率,點F為橢圓的右焦點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,點M為橢圓的上頂點,且滿足
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,當直線l交橢圓于P、Q兩點時,使點F恰為△PQM的垂心.若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)題意得,F(xiàn)(c,0),A(-a,0),B(a,0),M(0,b),,從而導出c2=1,a2=2,b2=1,由此可知橢圓C的方程.
(2)假設存在直線l滿足條件,使F是三角形MPQ的垂心.設PQ直線y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),,3x2+4mx+2m2-2=0,再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.
解答:解:(1)根據(jù)題意得,F(xiàn)(c,0),A(-a,0),B(a,0),M(0,b)

(2分)



∴c2=1,a2=2,b2=1
∴橢圓C的方程為.(4分)
(2)假設存在直線l滿足條件,使F是三角形MPQ的垂心.
因為KMF=-1,且FM⊥l,
所以k1=1,
所以設PQ直線y=x+m,
且設P(x1,y1),Q(x2),y2

消y,得3x2+4mx+2m2-2=0
△=16m2-12(2m2-2)>0,m2<3
y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=.(8分)
又F為△MPQ的垂心,
∴PF⊥MQ,∴

=,
(10分)
經(jīng)檢驗滿足m2<3(11分)
∴存在滿足條件直線l方程為:x-y+1=0,3x-3y-4=0(12分)
∵x-y+1=0過M點 即MP重合 不構(gòu)成三角形,
∴3x-3y-4=0滿足題意.
點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時要認真審題,注意公式的靈活運用.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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已知橢圓的離心率,點F為橢圓的右焦點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,點M為橢圓的上頂點,且滿足         (1)求橢圓C的方程;

    (2)是否存在直線,當直線交橢圓于P、Q兩點時,使點F恰為的垂心(三角形三條高的交點)?若存在,求出直線方程;若不存在,請說明理由。

 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓數(shù)學公式的離心率數(shù)學公式,點F為橢圓的右焦點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,點M為橢圓的上頂點,且滿足數(shù)學公式
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,當直線l交橢圓于P、Q兩點時,使點F恰為△PQM的垂心.若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年東北三省長春、哈爾濱、沈陽、大連第二次聯(lián)考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓的離心率,點F為橢圓的右焦點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,點M為橢圓的上頂點,且滿足
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,當直線l交橢圓于P、Q兩點時,使點F恰為△PQM的垂心.若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年高三數(shù)學單元檢測:圓錐曲線(1)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓的離心率,點F為橢圓的右焦點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,點M為橢圓的上頂點,且滿足
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,當直線l交橢圓于P、Q兩點時,使點F恰為△PQM的垂心.若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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