Question

已知橢圓的離心率，點F為橢圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢圓的上頂點，且滿足．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，當直線l交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為△PQM的垂心．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據題意得，F（c，0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b）
∴
∴（2分）
又
∴
∴
∴c²=1，a²=2，b²=1
∴橢圓C的方程為．（4分）
（2）假設存在直線l滿足條件，使F是三角形MPQ的垂心．
因為K_MF=-1，且FM⊥l，
所以k₁=1，
所以設PQ直線y=x+m，
且設P（x₁，y₁），Q（x₂），y₂
由
消y，得3x²+4mx+2m²-2=0
△=16m²-12（2m²-2）＞0，m²＜3．
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=．（8分）
又F為△MPQ的垂心，
∴PF⊥MQ，∴
又
∴=∴，
∴（10分）
經檢驗滿足m²＜3（11分）
∴存在滿足條件直線l方程為：x-y+1=0，3x-3y-4=0（12分）
∵x-y+1=0過M點 即MP重合 不構成三角形，
∴3x-3y-4=0滿足題意．
分析：（1）根據題意得，F（c，0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），，從而導出c²=1，a²=2，b²=1，由此可知橢圓C的方程．
（2）假設存在直線l滿足條件，使F是三角形MPQ的垂心．設PQ直線y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），，3x²+4mx+2m²-2=0，再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．