Question

已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓的離心率是，橢圓上任意一點到兩個焦點距離之和為4．
（1）求橢圓標準方程；
（2）設橢圓長軸的左端點為A，P是橢圓上且位于第一象限的任意一點，AB∥OP，點B在橢圓上，R為直線AB與y軸的交點，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設出橢圓的標準方程，根據橢圓的離心率結合長軸長及c²=a²-b²即可求得答案；
（2）由橢圓方程求出A的坐標，設出P、B、R的坐標，由P和點B都在橢圓上得兩點的坐標適合橢圓方程，再由AB∥OP得其斜率相等，列式得到P、B兩點坐標的關系式，寫出直線AB的方程，把R的坐標代入AB的方程得到B和R的坐標的關系式，然后運用坐標的關系分別表示出等式的左右兩邊，從而問題得到證明．
解答：（1）解：根據題設，可設橢圓標準方程為：
則離心率，由橢圓定義，得2a=4
解得a=2，
所以橢圓標準方程為：
（2）證明：由題意得A（-2，0），設P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（0，y₃），其中x₁＞0，y₁＞0，
點P和點B都在橢圓上，則有①
②
由AB∥OP，有，
即③
由x₁＞0，y₁＞0可知x₂≠-2．
AB直線方程為：y-0=k_AB[x-（-2）]，即．
把R（0，y₃）代入，得
所以有，，，
可得：④
⑤
由①，②，③得：⑥
由①，⑤得：⑦
由②，④得：⑧
由⑦，⑥得：⑨
由⑧，⑨可證得：．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關系的應用，訓練了代值思想方法，解答此題的關鍵是在設出點的坐標后能找到各坐標之間的關系，要求考生具備較強的運算推理的能力，是難題．