Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a＞b，求：
（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC₁；AB與A₁C₁；AB與B₁C．
（2）異面直線D₁B與AC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）解：BC為異面直線AB與CC₁的公垂線段，故AB與CC₁的距離為b．
AA₁為異面直線AB與A₁C₁的公垂線段，故AB與A₁C₁的距離為c．
過B作BE⊥B₁C，垂足為E，則BE為異面直線AB與B₁C的公垂線，BE==，即AB與B₁C的距離為．

（2）解法一：連接BD交AC于點O，取DD₁的中點F，連接OF、AF，則OF∥D₁B，
∴∠AOF就是異面直線D₁B與AC所成的角．
∵AO=，OF=BD₁=，AF=，
∴在△AOF中，cos∠AOF═．
解法二：如圖，在原長方體的右側補上一個同樣的長方體，
連接BG、D₁G，則AC∥BG，∴∠D₁BG（或其補角）為D₁B與AC所成的角．
BD₁=，BG=，D₁G=，
在△D₁BG中，cos∠D₁BG==-，故所求的余弦值為．
分析：（1）：主要是掌握異面直線距離的基本概念是兩條直線的公垂線段，題中有的直接讀出來（前兩個有公垂線段），題中沒有的話得先作出來再利用空間向量來求（第三個沒有公垂線段）；
（2）解法一連接轉化：要求異面直線D₁B與AC所成角的余弦值，先找異面直線D₁B與AC所成角即找出連DD₁的中點F，連接OF、AF，∠AOF就是異面直線D₁B與AC所成的角．然后利用空間向量求角；
解法二利用添加法：在原長方體的右側補上一個同樣的長方體，連接BG、D₁G，則AC∥BG，∴∠D₁BG（或其補角）為D₁B與AC所成的角．利用空間向量求角即可．
點評：此題考查學生空間想象能力以及對異面直線距離的理解，利用空間向量求出兩直線間的距離和夾角．