Question

已知關于x的一元二次方程mx²-4x+4=0 ①，x²-4mx+4m²-4m-5=0 ②求使方程①②都有實根的充要條件．

Answer 1

分析：分別求出方程①和方程②有根的充要條件，將求出的m的范圍取交集．

解答：解：方程①有實數根時，其判別式△₁=（-4）²-16m≥0，即m≤1，且 m≠0；
當m≤1，且 m≠0時，其判別式△₁=（-4）²-16m≥0，
∴方程①有實數根的充要條件是m≤1，且 m≠0；
方程②有實數根時，其判別式△₂=（4m）²-4（4m²-4m-5）≥0，即m≥-

5

4

．
當m≥-

5

4

時，其判別式△₂=（4m）²-4（4m²-4m-5）≥0
方程②有實數根的充要條件是  m≥-

5

4

．
∴方程①②都有實數根的充要條件是{  m|m≥-

5

4

且 m≠0；}∩{  m|m≥-

5

4

}
={m|-

5

4

≤m≤1，且 m≠0}；
反之，當-

5

4

≤m≤1時，方程①②都有實根；
故方程①②都有實根的充要條件是-

5

4

≤m≤1．

點評：一元二次方程有實數根的充要條件是判別式大于或等于0．