Question

（2011•藍山縣模擬）已知關于x的一元二次不等式ax²+bx+c≥0在實數集上恒成立，且a＜b，則T=

a+b+c

b-a

的最小值為

3

．

Answer 1

分析：從二次函數的二次項系數及判別式限制，得到a，b，c滿足的不等關系；將M中的c利用得到的不等關系去掉；將代數式變形，利用基本不等式求出最小值，

解答：解：∵一元二次不等式ax²+bxx+c≥0對一切實數x都成立，
當a=0時，不符合題意；
當a≠0時，根據y=ax²+bxx+c的圖象
∴

a＞0 △≤0

，由此

a＞0 b2-4ac≤0

∵b＞a＞0∴b-a＞0
∵b²≤4ac得c≥

b2

4a

則T=

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

(2a+b)2

4a(b-a)

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

≥

4(b-a)×3a

4a(b-a)

=3
當且僅當3a=b-a且c=

b2

4a

即c=b=4a時，取等號
故答案為3

點評：主要考查了二次函數的恒成立問題．二次函數的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．