Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式f(x)≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，再由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x-1求得f（-x）然后利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)得到f（x）．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，分段解出各段上滿足f(x)≤

1

2

的x的范圍，綜合分類討論結(jié)果可得答案

解答：解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x
∴f（-x）=log₂（-x），
又∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=-log₂（-x）．
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0
綜上所述f（x）=

log2x，x＞0 0，x=0 -log2(-x)，x＜0

（2）由（1）得不等式f(x)≤

1

2

可化為
x＞0時(shí)，log2x≤

1

2

，解得0＜x≤

2

x=0時(shí)，0≤

1

2

，滿足條件
x＜0時(shí)，-log2(-x)≤

1

2

，解得x≤-

2

2

綜上所述原不等式的解集為{x|x≤-

2

2

，或0≤x≤

2

}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用奇偶性來(lái)求對(duì)稱區(qū)間上的解析式，一定要注意，求哪一個(gè)區(qū)間的解析式，要在哪個(gè)區(qū)間上取變量．