Question

已知、分別是橢圓C: 的左焦點和右焦點,O是坐標系原點, 且橢圓C的焦距為6, 過的弦AB兩端點A、B與所成的周長是.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ） 已知點，是橢圓C上不同的兩點，線段的中點為,

求直線的方程

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  解:設橢圓C: 的焦距為2c,

∵橢圓C: 的焦距為2,   ∴2c=6,即c=3…………1分

又∵、分別是橢圓C: 的左焦點和右焦點,且過的弦AB兩端點A、B與所成⊿AB的周長是.

∴⊿AB的周長 = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=

∴                                            …………4分

又∵, ∴∴橢圓C的方程是…………6分

（Ⅱ）解一： 點，是橢圓C上不同的兩點，

∴，.…………7分

以上兩式相減得：，…………8分                             

即，，…9分

∵線段的中點為，∴. …10分

                                                          

∴，…………11分

當，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，………12分

∴.          ……………………13分

 ∴直線的方程為，即.      ………14分

 解二: 當直線的不存在時, 的中點在軸上, 不符合題意.

     故可設直線的方程為, .  ……8分

         

  由 消去，得   (*)

.             ………10分

 

  的中點為,

..解得.   ………12分                                                 

此時方程(*)為,其判別式.………13分

 

∴直線的方程為.         ………14分  

【解析】略