Question

已知、分別是橢圓C:的左焦點和右焦點,O是坐標系原點, 且橢圓C的焦距為6, 過的弦AB兩端點A、B與所成的周長是.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點，是橢圓C上不同的兩點，線段的中點為,
求直線的方程

Answer 1

（Ⅰ） 解:設橢圓C:的焦距為2c,
∵橢圓C:的焦距為2,   ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵、分別是橢圓C:的左焦點和右焦點,且過的弦AB兩端點A、B與所成⊿AB的周長是.
∴⊿AB的周長 = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=
∴                                            …………4分
又∵, ∴∴橢圓C的方程是…………6分
（Ⅱ）解一：點，是橢圓C上不同的兩點，
∴，.…………7分
以上兩式相減得：，…………8分                             
即，，…9分
∵線段的中點為，∴. …10分
∴，…………11分
當，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，………12分
∴.         ……………………13分
∴直線的方程為，即.      ………14分
解二: 當直線的不存在時, 的中點在軸上, 不符合題意.
故可設直線的方程為, . ……8分
由 消去，得   (*)
.            ………10分
的中點為,
..解得.  ………12分                                                 
此時方程(*)為,其判別式.………13分
∴直線的方程為.        ………14分 

解析