Question

設a為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）．證明：n≥1時，a_n=[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是數學歸納法及數列的遞推公式，由題目中已經給出了遞推公式，證通項公式，可用數學歸納法證明結論，我們先證明n=1時，通項公式正確，然后假設n=k（k∈N*）時正確，進而得到設n=k+1時，公式仍成立．
解答：證明：（1）當n=1時，[3+2]-2a=1-2a，而a₁=3-2a=1-2a．
∴當n=1時，通項公式正確．
（2）假設n=k（k∈N*）時正確，即a_k=[3^k+（-1）^k-1•2^k]+（-1）^k•2^k•a，
那么a_k+1=3^k-2a_k=3^k-×3^k+（-1）^k•2^k+（-1）^k+1•2^k+1a
=•3^k+（-1）^k•2^k+1+（-1）^k+1•2^k+1•a
=[3^k+1+（-1）^k•2^k+1]+（-1）^k+1•2^k+1•a．∴當n=k+1時，通項公式正確．
由（1）（2）可知，對n∈N*，a_n=[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a．
點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．由n=k正確⇒n=k+1時也正確是證明的關鍵．