Question

設函數，數列{a_n}滿足．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，求實數t的取值范圍；
（III）在數列{a_n}中是否存在這樣一些項：，這些項能夠構成以a₁為首項，q（0＜q＜5，q∈N^*）為公比的等比數列，k∈N^*．若存在，寫出n_k關于k的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，（n∈N^*，且n≥2），
知．由此可知．
（II）分n=2m與n=2m-1討論可得，，由此計算能導出實數t的取值范圍．
（III）由，知數列{a_n}中每一項都不可能是偶數．存在以a₁為首項，公比q為2或4的數列，k∈N^*，
此時，中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a₁為首項，公比為偶數的數列，．再由q=1和q=3分別討論知存在滿足條件的數列{a_nk}，且．
解答：解：（I）因為，（n∈N^*，且n≥2），
所以．（2分）
因為a₁=1，所以數列{a_n}是以1為首項，公差為的等差數列．
所以．（4分）

（II）①當n=2m，m∈N*時，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^2m-1a_2ma_2m+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=
==．（6分）

②當n=2m-1，m∈N*時，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1==．（8分）
所以
要使T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，
只要使，（n為正偶數）恒成立．
只要使，對n為正偶數恒成立，
故實數t的取值范圍為．（10分）

（III）由，知數列{a_n}中每一項都不可能是偶數．
存在以a₁為首項，公比q為2或4的數列，k∈N^*，
此時中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a₁為首項，公比為偶數的數列．（12分）
②當q=1時，顯然不存在這樣的數列．
當q=3時，若存在以a₁為首項，公比為3的數列，k∈N^*．
則，n₁=1，．
所以存在滿足條件的數列，且．（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．