Question

在n個紅球及n個白球，總計2n個球中取出m（m≤n）個球的方法數是C_2n^m，該方法數我們還可以用如下方法得到：只取m個紅球；取m-1個紅球，1個白球；取m-2個紅球，2個白球；…．于是可得到組合數公式：C_2n^m=C_n^mC_n⁰+C_n^m-1C_n¹+…+C_n^rC_n^m-r+…+C_n⁰C_n^m（m≤n），按如上方法化簡下式得到的結果是：C_n⁰C_m⁰+C_n¹C_m¹+…+C_n^rC_m^r+…+C_n^mC_m^m=______（其中m≤n）

Answer 1

因為C_n^k=C_n^n-k，所以原式=C_n⁰C_m⁰+C_n¹C_m¹+…+C_n^rC_m^r+…+C_n^mC_m^m
=C_n⁰C_m^m+C_n¹C_m^m-1+…+C_n^rC_m^m-r+…+C_n^mC_m⁰=C_n+m^m（或C_n+mⁿ），
故答案為：C_n+m^m（或C_n+mⁿ）．